Justus Grimm pierwsze lekcje gry na wiolonczeli otrzymał w wieku pięciu lat od ojca. Kontynuował edukację muzyczną u Ulricha Vossa, Clausa Kanngiessera, a później u Fransa Helmersona w Sztokholmie i Kolonii.
Swojego wybitnego talentu dowiódł sukcesami w wielu konkursach muzycznych. U boku pianisty Floriana Wieca zdobył pierwszą nagrodę w Konkursie Marii Canals w Barcelonie, a dodatkowo otrzymał nagrodę Niemieckiej Rady Muzycznej.
Koncerty solowe i kameralne Justusa Grimma otworzyły mu drogę do kariery w całej Europie. Udział solisty w premierze koncertu wiolonczelowego Matthiasa Pintschera "La Metamorfosi di Narciso" z Orkiestrą Filharmonii w Hamburgu w 1993 roku był początkiem solowych koncertów Justusa Grimma z wieloma innymi orkiestrami, w tym z English Chamber Orchestra, London Chamber Orchestra, Orchestre Royal de Wallonie, Orchestre Symphonique de la Monnaie, Bonn Classical Philharmonic oraz Brandenburg State Orchestra Frankfurt.
Artysta występował w najbardziej renomowanych salach koncertowych na świecie, takich jak Filharmonia Berlińska, Sala Koncertowa w Hamburgu, Filharmonia Kolońska, Teatr du Chatelet w Paryżu, monachijska Hercules Hall i Centrum Kultury w Lizbonie.
Justus Grimm współpracował z wybitnymi artystami, takimi jak Abdel Raman El Bacha, Daniel Blumenthal, Gerard Caussé, Augustin Dumay, Stephen Kovacevich, Katia i Marielle Labeque, Antonio Pappano i Kazushi Ono. Otrzymał zaproszenia na ważne festiwale, w tym na Festiwal w Ludwigsburgu, Festiwal van Vlaanderen w Belgii, Lizbońską Dias da Musica, Festiwal Florilegio Salamanca w Argentynie, Sonoro Romania w Bukareszcie, Festiwal Muzyki Kameralnej w Thy, Klara Festival w Brukseli i Resonances Festival w Belgii. Poza nagraniami w wielu europejskich stacjach radiowych Justus Grimm dokonał także nagrań płytowych. Warto wspomnieć o płycie CD Trio Wiek (Christina Fassbender, Justus Grimm i Florian Wiek) z utworami Philippe'a Gauberta, która otrzymała najwyższą ocenę francuskiego magazynu Diapaison.
W 2012 światło dzienne ujrzał nagrany przez artystów album z wczesnymi utworami George'a Enescu, a wkrótce później wydano kompletne nagranie utworów kameralnych Cesara Francka. Płyta otrzymała nagrodę Prix Cecilia za najlepszy abum 2012 roku.
Justus Grimm jako członek i założyciel kwartetu Malibran poświęcił się niezwykle bogatemu repertuarowi tego gatunku od 2008 roku.
Nauczanie odgrywa kluczową rolę w życiu artystycznym Justusa Grimma. Wykładał w brukselskiej Chapelle Reine Elisabeth (2002-2003) i Instytucie Muzycznym w Namur (2003-2008), a w 2008 roku uzyskał tytuł profesora wiolonczeli w Królewskim Konserwatorium w Antwerpii, gdzie od 2013 roku pełni również funkcję Dyrektora Artystycznego. Gra na wiolonczeli z 2010 roku autorstwa francuskiego lutnika - Christiana Bayona.